Fraktálok

1. Milyen tálok? Micsinálok?

A fraktál szót egy k-val írjuk, és a szó természetesen nem a népszerű magyar rajzfilm legendás kutyahősének 1 evőedényét (-edényeit) jelenti, hanem a matematikusok és hasonló gyanús alakok egy újabb passzióját. A fraktál tehát matematikai fogalom, mégpedig a geometriai alakzatok (tudjuk: kör, négyzet, téglalap, gúla stb.) csoportjába tartozik. Nem egyéb, mint valamilyen, érdekes tulajdonságokkal rendelkező test, vagy síkidom. Két-három, nem teljesen ekvivalens, de összefüggő meghatározást szokás rájuk adni.


Az ún. "Cantor-szőnyeg"

1. A hétköznapi, matematikához nem annyira értő emberek által készített honlapokon is legelterjedtebb felfogás szerint a fraktálok önhasonló alakzatok. Vagyis olyan síkidomok, melyek egy részletét kinagyítva, visszakapjuk az eredeti vagy egy ahhoz kisértetiesen hasonlító alakzatot. A "matematikához nem annyira értő" kifejezésünket itt nem negatív értékítéletnek szántuk, ugyanis e felfogásnak bizony megvan a létjogosultsága: az önhasonlóság valóban gyakori és mindenképp az egyik legérdekesebb tulajdonsága a fraktáloknak.


Az f(x) = -100x1x2+100|x|+5i
matematikai képlettel definiált,
színezett fraktálgrafikon
egy részlete.

2. Egy szintén gyakori, általában a fizikusok által használt meghatározás az ún. genetikus definíció, vagyis annak leírása, hogyan kaphatunk fraktált. Ilyen leírásokkal találkoztam pl. a Természet Világa c. közismert tudományos ismeretterjesztő havimagazinban. Eszerint a fraktálok a komplex függvények iterációjával (ismétlésével) kapható alakzatok. Részletesen arról van szó, hogy a fraktálok matematikai leírásához valahogy megpróbáljuk számokkal leírni a sík (a tér) pontjait: erre legalkalmasabb eszköz a komplex számokkal (lényegében a síkvektorokkal) történő modellezés. Két vektort a szokásos módon adunk össze, két komplex számként felfogott vektor szorzata pedig az a vektor, melyet úgy kapunk, hogy az első tényezővektort elforgatjuk a második tényezőnek az x-tengely által bezárt szögével, hosszát pedig annyiszorosára változtatjuk, amennyi a második tényező hossza. A komplex számként felfogott vektorok szorzása tehát a "forgatva nyújtás" nevű geometriai transzformáció. Mármost a komplex számokon hasonlóan értelmezhetünk függvényeket, mint a valós számokon. Pl. egy vektort megszorozhatunk kettővel, de akár egy adott állandó komplex számmal is. Négyzetre is emelhetjük (önmagával való szorzás) stb. Általában, a komplex számokkal nagyjából ugyanúgy számolunk, mint az egydimenziós egyenesen elhelyezkedő valósokkal. Az x=(x1,x2) vektor-írásmódú komplex számot (ahol x1 és x2 valós számok, a komplex szám mint ektor első és második koordinátája) így is írhatjuk: x=x1+ix2, ahol i az i=(0,1) vektor rövidítése. Nem nehéz belátni, hogy a fent definiált szorzásművelettel i×i =i2=-1. Azaz: a komplex számok körében negatív számnak is van négyzetgyöke.

Egy fraktálalakzat (az ún. Hilbert-görbe) előállítása iterációval

Ha tekintünk egy adott z komplex számot, az bármely f komplex függvénnyel szemben kétféle módon viselkedhet. 1). infinit módon: ha nagyon sokszor alkalmazzuk z-re az f függvényt (z1=f(z), z2=f(f(z)); ... stb. ), akkor azt látjuk, hogy a sorozat tagjainak hossza egyre nagyobb és nagyobb lesz; (végtelenbe tartás) 2). finit módon: a fenti sorozat nem mutat "végtelenbe tartási" viselkedést, azaz bármely sokszor is alkalmazzuk (iteráljuk) a függvényt z-re, a kapott vektorsorozat bármely tagjánál lesz legalább egy a következő tagok közt, amely nála rövidebb. Mármost ha adott f függvényre tekintjük a finit módon viselkedő vektorok halmazát, nevezzük mondjuk az f finitségi tartományának, akkor ezen vektorok gyakran egy fraktál jellegű alakzatot képeznek a síkon (mondjuk ha feketére színezzük a tartomány elemeit, a többi pontot meg fehérre - a színes fraktálalakzatokban is általában fekete szín jelzi a fraktálhoz, azaz a finitségi tartományhoz tartozó pontokat, az egyéb színek pedig többnyire a "végtelenhez tartó" - vagyis a fraktálhoz nem tartozó! - vektorok hosszának növekedési gyorsaságát jelzik - pl. hogy hány iteráció szükséges egy adott hossznagyság eléréséhez - vagy valamilyen hasonló, a konvergenciát matematikailag valahogyan jellemző mennyiség szemléltetésére szolgálnak). Ergo, fraktált általában egy komplex függvénnyel adhatunk meg. Egy végtelen bonyolult fraktál-alakzat leírásához egy többnyire igen rövid képlet elegendő tehát. Ennek nagyon nagy a jelentősége a komputergrafikában, bár jelen pillanatban a fraktálok alkalmazási lehetőségeinek kihasználásának valószínűleg egészen kezdeti korszakában tart a világ.

3. A matematikailag legrelevánsabb definíció szerint a fraktálok a törtdimenziós geometriai alakzatok. Nevük is innen ered: a latin fractus, azaz "tört" szóból. A törtdimenzió - nem annyira bonyolult, de azért helyt igénylő - részleteibe nem megyünk bele, mivel a képek értelmezéséhez, a művészi élmény átéléséhez nem szükséges. Hasonló, terjedelmi okok miatt a fenti fraktál-definíciók összefüggéseibe sem megyünk bele (a törtdimenzió, az iteratív generálás és az önhasonlóság szoros kapcsolatban van, de itt nem részletezzük ezeket).

2. Mi ebben a művészet?

2.1. A fraktálképgenerálás jellege és helye a kreatív tevékenységek között

A fraktálok művészetté változtatják a matematikát.

Tim Fadden, "komputer-művész"2

A Mandelbrot-halmaz ugyanis se nem a véletlenre, sem pedig a művészetre nem szolgálhat sikerült példaként.

Perneczky Géza, művészettörténész3

Mi is ez igazából? Utoljára mozgassuk meg kategorizáló elménket, hiszen éppen arról van szó, hogy a régi kategóriák elmosódnak. A matematikusoknak nem matematika ez, csak valami gyanús numerikus izé. A tudósok szerint művészet is, persze a művészek rángógörcsöt kapnak, hiszen nem az ő ős-archae-prae-tudatalattijukból jön a kép, csak valami masinából.

Görög György:4

Mi ebben a művészet? Ilyet kérdezni! Csak meg kell nézni egy képet: általában százszor jobb, mint bármely agyament absztrakt festő piros négyszögei a sárga háromszög mellett.

Sokan mégis csak megkérdezik, hogy a fraktálok konstruálásában mi a művészet. Sőt, nemcsak kérdeznek, hanem, horribile dictu, kétségbe vonnak. A fraktálművészet-szkeptikus szakértők közé tartozik pl. Perneczky Géza, a Kölnben élő művészettörténész: szerinte valóban szépek a fraktálok, de esztétikumuk olyasmi, mint egy virágé, egy kőé vagy egy madáré, azaz a természet tárgyaié. A számítógép és a benne dolgozó algoritmus csak "megtalál" a fraktálok végtelen sokaságában egy-egy példányt; ennek felmutatása nehezen nevezhető kreatív tevékenységnek. Némileg persze ellentmond ennek - ezt is Perneczky vette észre -, hogy "a széles körben publikáló fraktálbolondok" egyikének-másikának saját stílusa alakult ki. 5 ...

Az ilyen kérdések nemcsak Perneczky véleményének tükrében jogosak. Valóban kemény problémák vannak a fraktálgenerálás művészetként való elismerhetőségével a következők miatt: ha egyszer írunk egy képletet, akkor a program kiszámítja a képet, oszt jónapot, nem igaz? Ehhez semmifajta kreativitás nem kell, nem igaz?

Márpedig nem, nem igaz. Már a fraktálképlet megalkotása sem gyerekjáték, mert sok egyszerűen kínálkozó képlet érdektelen vagy csúnya grafikont ad. Azonkívül kreativitást igényel a paletta (a konvergencia gyorsaságát jellemző színskála) megválasztása is: előfordul, hogy a paletta megváltoztatásával egy addig érdektelen, unalmas kép színpompás fraktálszörnyeteggé változik! A nagyítással is sokat kell kísérletezni, mert nem mindegy, a kép melyik részét nagyítjuk ki. Egy kisebb részlet kinagyítása sokszor meglepő eredményt ad: ahol az eredeti képhez hasonló struktúrákat vártunk, ott esetleg újabb, eddig nem látott alakzatok bukkannak fel. A fraktálkép-generálás tehát egyéni leleményt igénylő feladat, melyhez sokszor nagy monotóniatűrés szükségeltetik, de a kapott eredmények nagyon-nagyon megérik a sok várakozást, amikor fraktálgenerátor programunk hosszú renderelés után végül nem egy unalmas, semmitmondó képet rajzol ki, hanem végre egy igazán izgalmas, szinte élő alakzatot.

Bizonyos értelemben a "fraktál-művészek" még "művészebbek" is, mint pl. egy fotóművész, vagy pl. egy Liszt Ferenchez hasonló zongoravirtuóz (vagy mégsem?), mert egy zongoravirtuóz elvileg nem térhet el a zeneszerző által megadott programtól, vagyis a kottától, ellenben a fraktálgeneráló szoftverek egy részében a képletet, vagyis a "kottát" is mi szerkesztjük. A hasonlat annyiban sántít, hogy a kottát viszont nem teljesen mi "játsszuk le", tesszük közérthetőbb műalkotássá, hanem nagyrészt a generátorprogram - de a komplex síkon való navigálással mi választjuk ki a "darab" azon részletét, melyet majd a közönség elé tárunk. A "fraktálművész" kreativitása tehát nemcsak a képlet megalkotásakor érvényesülhet, hanem abban a talán kevésbé kreatív, sokkal inkább befogadó jellegű tevékenységben, amelynek során a végtelen komplex síkból kiválaszt, "lefotóz" egy részletet, azt képpé merevítendő. Ez a feladat egy fényképész feladatához hasonlít, és művészi érzékre itt is szükség van, mert a művésznek feladata eldönteni, hogy a fraktál mely részlete válhat jelentős esztétikai élménnyé vagy tarthat számot másféle közérdeklődésre. A fraktálgenerálás tehát mindenképp kreatív, alkotó jellegű, sőt, jó esetben "innovatív" kreativitást, azaz legalább minimális művészi vénát igénylő tevékenység, szemben a "befogadói", illetve a reproduktív tevékenységekkel, mint pl. egy Bach-zongoramű eljátszása.

Nem érthetünk tehát egyet a Perneczkyt idéző Nyikos Lajos fentebb idézett véleményével, miszeint a fraktálképek esztétikuma inkább a természeti tárgyakéhoz, mint a műalkotásokéhoz hasonlít. Egyrészt Mürón Diszkoszvetőjének esztétikuma is részben a természeti tárgy, az emberi test esztétikuma. Tudom, hogy nem ez a művészet egyetlen kritériuma, de Mürón szobrát én azért érzem nagyon zseniálisnak és "művészinek", mert szinte látni vélem, ahogy a következő pillanatban "lelép" a talapzatról, és elhajítja a diszkoszt! Vagyis mert hasonlít az eredetire, olyan, mintha élne. Másrészt, abban is csak részben van igaza a Perneczkyt idéző Nyikos Lajosnak, hogy a fraktálgenerátor megtalál a fraktálalakzatok végtelen sokaságából egy részletet és azt kiragadja. Általában nem a program keresi és találja meg ezt, hanem a kezelője, a program csak rögzíti és prezentálható (nyomtatható stb.) formába alakítja. Ugyanakkor egy fotóművész - sőt egy hiperrealista tájképfestő - sem csinál mást, mint megkeres a természet szépségeinek szinte végtelen sokasága közül egy részletet, és azt kiragadja. A fraktálkép nem olyan viszonyban van a természettel, mint egy virág, hanem mint egy virágról készült fotó vagy - esetleg - festmény. És ha utóbbi, a fotó műalkotás, az előbbi miért nem az? A fotóművész pedig ugyanolyan viszonyban van a természettel, a materiális illetve az "introspektív-percepcionális" - más szóval a kvázi-objektív és/vagy intraszubjektív - valósággal, mint a "fraktálművész" az absztrakt-interszubjektív valósággal.

Vajon Liszt Ferencet nem azért tartjuk-e nagy előadóművésznek, mert megtanulta egy bonyolult technikai eszköz, a zongora kezelését, és bizonyos emberek által megadott formális képleteknek (kotta) megfelelően hűen tudta azt működésre bírni (a kérdésem nem költői: nem állítok, kérdezek!)? Azért ne ragadtassuk el magunkat, hiszen talán nyilvánvaló, hogy egy kocsmai zenegép - amely tevékenysége fogalmi lényegét tekintve, nemigen csinál mást, mint Liszt - nem művész. De ha így van, akkor miért van így? Ha a zenegép - mondjuk egy igényesen programozott zenegép - lényegét tekintve ugyanazt csinálja, mint Liszt, akkor miért művész Liszt és miért nem a zenegép? Hogy a kérdés eldöntésének nemcsak a megvalósítás módja (gép kontra ember) az egyetlen kritériuma, azt akkor látjuk, amikor Liszt helyett egy közönséges bárzongoristát, vagy egy zongorázni tanuló ifjút veszünk. Az utóbbi nem művész (vagy igen?), és még a kocsmai zenegép is jobban játszik nála. De a zenegép akkor sem művész, és hasonlóan a fraktálgeneráló program sem az. Miért lenne hát az a kezelője? Azonban még e gondolatmenet sem cáfolja azt, amire a fotóművészes példából következtethetünk. A fotóművész általában nem saját maga előállította modellről vesz mintát. Amikor egy épületről készít fotót, munkája bizonyos szempontból nem más, mint pár gomb lenyomása. Mennyiben más ez, mint egy fraktálkép elmentése? A fotóművésznek az a gépe, ami a fraktálművésznek a generátorszoftvere. Ha a fotóművész művész lesz a gépe kezelésétől, miért ne lenne az a fraktálművész ugyanettől?

2.2. A fraktálképgenerálás különféle művészetfelfogások tükrében

Mindennek ellenére az is igaz, hogy a fraktálkép-generálás, ha művészet, még akkor is lényegesen különbözik a hagyományosan művészinek mondott ágaktól, pl. a festészettől. Három lényeges, erősen összefüggő különbség figyelhető meg: 1). a technika felhasználása, 2). a nagyfokú reprodukálhatatlanság 3). társadalmi elismertség .

Véleményem szerint attól, hogy gépekkel készül, még lehet egy dolgot műalkotásnak nevezni: a komputergrafika - igenis művészet (nem is beszélve Bach orgonálásáról - az orgona is gép, csak jobbára mechanikus, nem elektronikus). Tehát nem önmagában a technika felhasználása okozza, hogy a szoftveres fraktálgenerálás művészet voltát kétségbe vonják. De akkor mi? Van egyáltalán ilyen ok, vagy csak a gépi technikák iránti előítéletről van szó? Mint a fenti három különbség felsorolása mutatja, valószínűleg lehet racionális okokat találni, ami miatt a "művészet" szó használata egyeseknek nem tetszik.

A hagyományos műalkotást általában az egyedisége teszi műalkotássá. Egy szakértő az eredeti műalkotást és a másolatot megvizsgálva általában nagy biztonsággal el tudja dönteni, melyik a hamisítvány. Egy, a hagyományos művészeti ágak (szobrászat, festészet, táncművészet, zeneművészet) körébe tartozó jó műalkotást nehéz vagy egyenesen lehetetlen megismételni. Ez a reprodukálhatatlansági kritérium. A köznyelvben gyakran fogalmazódik meg negatív formában: "ez nem művészet, ilyet én is bármikor csinálok!" Értve ezen egyrészt azt, hogy a sárga háromszögek pingálása nem igényel nagy festéstechnikai tudást; míg egy embert már nem tud akárki jól megfesteni. Viszont ha egy szofver sok technikai folyamatot automatizál, akkor a mesterségbeli tudással nem rendelkező emberek is tömegesen készíthetnek "műalkotásokat" (pl. zeneszerkesztő szoftverek). Van olyan jól védhetőnek látszó (erősen alkotóközpontú) felfogás, hogy amit sokan tudnak, az triviálissá válik és elértéktelenedik. Ezért van sokaknak ellenérzése a gépzenével szemben: "fölöslegessé" téve a zenetanulást és zenetechnikai tudást, "a gyöngyöt a disznók elé veti", trivialitássá változtatva a virtuozitást.

Ha ez egyáltalán baj, akkor viszont gondoljuk meg: vajon egy "igazi művész" egy elegendően intelligens, variábilis zeneszerkesztő szoftverrel képes-e "igazi műremeket" alkotni? Nyilvánvaló - hiszen attól, hogy más eszközöket használ, még nem veszti el automatikusan tapasztalatait, tudását és kreativitását. Az alkotóközpontú felfogás mellett jogosultsága lehet tehát a műközpontú felfogásnak is: egy műalkotás akkor műalkotás, ha "jó", "szép", stb.; akárki akármilyen eszközzel állította is elő. Az viszont igaz, hogy a gépek megkönnyítik nemcsak a valódi művészet, hanem a giccs, bóvli, gagyi tömeggyártását is. De attól, hogy a Roxy Rádió tömegesen sugároz E-Jay-jel és más "zene"-gyártó szoftverekkel előállított, kérdéses színvonalú vagy művésziségű termékeket, ez még nem jelenti feltétlenül azt, hogy az ilyen szoftverekkel csakis bóvlit lehet előállítani.

Talán emiatt nincs egy kocsmai zenegép "művészetének" akkora társadalmi elismertsége, mint Lisztének? Nem arról beszélünk, hogy hányan hallgatnak Lisztet és hányan kocsmai zenegépet, hanem arról, hogy miért tartják még a kocsmai zenegéphallgatók is művésznek Lisztet (még ha utálják is), és miért nem a gépet (józan ésszel aligha elképzelhető, hogy valaki egy gépet pl. "Művész Úrnak" nevezne!)? Talán egy gép működésének tényleg azért ennyire kicsi a művészetként való elismertsége, mert megkönyíti a bóvli gyártását, és leépíti a határokat kontár és mester között?

De vajon valóban így van-e? Vajon a zenegépekkel való bűvészkedést nem tartják-e sokan művészetnek? Amikor szintetizátorral írunk zenét, azt is sokan vélik annak! A kulcs nyilvánvalóan a reprodukálhatatlanságban van. A modern elektronikus zene valahol félúton lehet a hagyományos művészet és az előadói mesterség közt. Ha ilyen szempontból nézzük, az a fraktálgenerálás szempontjából hátrányos, mert a fraktálképek elvileg nagyon könyen reprodukálhatóak. A gyakorlatban azonban nem így van: bár láttam már a Mandelbrot-halmazról igen hasonló képeket, de azért véletlenszerűen választva két fraktálképet a neten, ezek valószínűleg igen eltérőek. Attól még tehát, hogy a szoftverek könnyen előállíthatóvá tesznek egy bizonyos technikával készülő tárgyféleséget, nem feltétlenül szüntetik meg a művészetet, minél "intelligensebb" egy szoftver (itt ezen most nem a nagyfokú automatizáltságot, önműködést, hanem ellenkezőleg, az emberi választásnak és kreativitásnak való helytedás nagy mértékét értjük) , annál inkább teret ad a művészi tevékenységnek, éas ezáltal a nehezen reprodukálhatóságnak.

A reprodukálhatatlanság kritériuma tehát esetleg nem is feltétlenül szükséges, de nem is teljesen elegendő, mert egy műalkotásnak emellett vagy ehelyett esztétikusnak kell lennie vagy értékeket hordoznia (mások utóbbinak pedig épp ellenkezőjét állítják). Fentebbiek szerint ha a fraktálképet alkotóközpontú szemlélet helyett műszempontú művészetszemlélettel közelítjük meg (jól néz-e ki a kép?), akkor akár félre is tehető, de a szoftverek alkalmazása csak részlegesen jelenti azt, hogy a valóságban is félretesszük.

Akadnak olyanok, akik szerint az egyediség nem elegendő kritérium, vagyis attól, hogy egy önjelölt művész leönt lekvárral egy autót, az még nem válik műalkotássá. A huszadik században azonban megfigyelhető volt, hogy a "művészetről" alkotott közfelfogás mégis ilyen, a hagyományoshoz képest kitágított értelem felé mozdult el. Vagyis egy műalkotást lényegében mégis csak az egyedisége tesz műalkotássá, de egyediség itt már nem a nehezen reprodukálhatóságot, hanem a művész kiemelt szerepét jelenti. Ha egy performance-művész ráül a vécére, az önmagában még nem műalkotás, de bizonyos körülmények közt (pl. ha cselekedetét műalkotásnak deklarálja és ezt nagyobb számú ember - igen, de kik? és miért ők? - elfogadja), akár azzá is válhat. Természetesen bárki ráülhet a vécére, de ha az illető nem performance-művész, akkor akárhogyan is erőlködik, aktusa nem válik műalkotássá, még deklarációja ellenére sem. Ez is egy alkotóközpontú felfogás, de a mesterségbeli virtuozitás helyett (mely fogalom a performance esetében elég nehezen értelmezhető) a befogadók ítéletére (amely nem feltétlenül mű- vagy értékközpontú ítélet) alapoz. Ez a társadalmi elismertség kritériuma (ennek részének tekinthetőek pedig a maradandóság, az értékhordozás vagy egyszerűen a "klikkbe tartozás" stb. követelményei). A huszadik században annak lehettünk szemtanúi, hogy megkérdőjeleződött a reprodukálhatatlanság kritériuma, mert olyan új ágak születtek (kollázs, montázs, fotóművészet, performance), amelyeket széles társadalmi rétegek művészetnek tekintenek, de amelyek körébe tartozó műalkotások lényegüket tekintve könnyen reprodukálhatóak.

Utóbbi kritériumot illetően abban a helyzetben vagyunk, hogy ilyen kiterjeszetett értelemben a fraktálkép-generálás bizony tekinthető művészetnek. Az a helyzet, hogy van jó pár ember, akik a fraktál-programozást "művészetnek" tartják. Ez ugyanaz a szituáció, mint a performance-művészet esetében: bizonyos emberek kétségbevonják a létjogosultságát, mások elismerik. Akkor meg miért ne neveznénk művészetnek, az ellenvélemények meg kit érdekelnek? Ha a performance-t elismerjük önálló művészeti ágnak, miért ne tennénk ezt a komputeres fraktálgenerálással? A fraktál-művészet rendelkezik legalább akkora társadalmi elismertséggel, mint a performance. Arról nem is beszélve, hogy fraktálokat nem csak géppel, de kézzel is lehet festeni (csak sokkal nehezebben és lassabban), és az így készített képekre, lényegében a posztmodern festészet körébe sorolható festményekre, nemigen mondanák a hozzáértők, hogy ne lennének műalkotások. Tehát úgy tűnik, megállapíthatjuk, hogy a fraktálgenerálás művészet voltának kétségbevonását nem a téma, a műalkotások tárgya, hanem a felhasznált technikai módszerek eredményezik, noha még korábbi megállapításaink szerint ez a felfogás legalábbis megkérdőjelezhető.

2.3. Összegzés

Összegezve, a szoftveres fraktálképgenerálás, ha nem is feltétlenül művészet, de legalábbis ahhoz nagyon hasonló valami. Leginkább művészi jellegű és célú alkotótevékenységnek nevezhetjük. Az alapos analízis szerint Perneczky Géza kritikus véleményével kevéssé lehet egyetérteni: inkább nem, mint igen. Ha vele ellentétben a szoftveres fraktálkép-generálást mégis művészetnek tekintjük, akkor leginkább a nonfiguratív költészethez, festészethez és a fotóművészethez hasonlíthatjuk. Amikor a "fraktálművész" lementi bmp- vagy jpg-fájlját az illető fraktálról, akkor a valóság (igaz, nem az anyagi, hanem az absztrakt valóság) egy darabjáról készít reprezentációt, "fényképet". A fraktálművész művész volta a körülményektől is függhet, pl. hogy ő maga állítja-e elő a képletet, vagy az a programba van építve (ilyen esetben a program írója, vagy a képlet felfedezője társszerzőnek is tekinthető). Látható, hogy sok kérdést kell tisztázni, ennek ellenére a számítógépes fraktálkép-generálás nem feltétlenül trivális, akreatív, passzív tevékenység.

Véleményem szerint továbbá a fraktálgenerálás akár művészi tevékenység, akár nem, maguk a fraktálképek - a jók persze - mindenképp művészi élményt nyújtanak. Bizonyosak éppen osztódó egysejtűekre vagy növekvő páfrányra hasonlítanak, mások valami misztikus szörnyet, emberi vese metszetét vagy sokcsápú zöld hidrát idéznek, a "legpszichedelikusabbak" közülük pedig semmilyen ismert dologra nem emlékeztetnek, de mégis olyan ismerősek ... egy néhány soros képlettel generált, a steril és élettelen komplex síkon létező fraktálban sokszor világunk végtelen bonyolultsága tükröződik vissza.


Néhány példa házi fraktál-galériánkból 6 ... 1.   2.



Hivatkozások


Nyitólap.

Jegyzetek

  1. E kutyahős ti. Frakk, evőedénye a Frakk-tál. ...  ^
  2. Ld. Bill Varble: The art of mathematics.  Riport Tim McFadden munkásságáról.  ^
  3. Perneczky Géza: Mennyire lehet matematikus a képzőművész?   Ponticulus Hungaricus (interkulturális e-folyóirat).   ^
  4. Görög György: Káosz, az van   3. part (e-folyóirat).   ^
  5. Nyikos Lajos: Grafikai lapok fraktális elemzése.  ^
  6. 90 db. fraktálkép.  ^

Külső hivatkozások

  1. A. K. Dewney: A számítógép mint mikroszkóp behatolhat a matematika legbonyolultabb területeire. Nagy Ferenc honlapjáról.
  2. Kaosrhei fraktálgenerátor. Az internetről letölthető szabad és félszabad fraktálgenerátor-szoftverek közül számora ez bizonyult a legszabadabbnak és egyúttal a leghasznosabbnak. Egy Björn Ischo nevű német úriember nagyszerű munkája. A weblapomon található legtöbb fraktálkép az ő programjaival készült.
  3. Perneczky Géza: Fraktálok és eseményminták. E-könyv a fraktálokról.
  4. Fraktálok a ChemoNeten. Tudományos linkgyűjtemény; elég szegényes.